Sensibilité, spécificité et valeurs prédictives (PASS / LAS)

Résumé du cours

L’essentiel

• Le tableau 2×2 (test +/− vs maladie +/−) est la base de toutes les définitions : vrais/faux positifs/négatifs.
• La sensibilité mesure la capacité du test à détecter les malades : P(test+ | malade).
• La spécificité mesure la capacité du test à exclure les non-malades : P(test− | non malade).
• Les valeurs prédictives (VPP/VPN) dépendent fortement de la prévalence de la maladie.
• Sensibilité et spécificité ne dépendent pas de la prévalence : ce sont des caractéristiques intrinsèques du test.
• La courbe ROC résume le compromis sensibilité/spécificité pour différents seuils ; l’aire sous la courbe mesure la performance globale du test.

Tableau de contingence 2×2

Structure du tableau

On étudie un test diagnostique binaire (positif/négatif) pour une maladie (présente/absente). On construit le tableau :

• Lignes : maladie présente / maladie absente (ou malade / non malade).
• Colonnes : test positif / test négatif.

Notation classique :

• a = vrais positifs (VP) : malades avec test positif.
• b = faux positifs (FP) : non malades avec test positif.
• c = faux négatifs (FN) : malades avec test négatif.
• d = vrais négatifs (VN) : non malades avec test négatif.

Totaux :

• Total malades = a + c.
• Total non malades = b + d.
• Total test positifs = a + b.
• Total test négatifs = c + d.
• Effectif total = a + b + c + d = N.

Définitions et formules principales

Sensibilité

• Définition : probabilité que le test soit positif si le sujet est malade.
• Formule : Se = P(test+ | malade) = a / (a + c).
• Interprétation : parmi les malades, proportion correctement détectée.
• Un test très sensible donne peu de faux négatifs.

Spécificité

• Définition : probabilité que le test soit négatif si le sujet n’est pas malade.
• Formule : Sp = P(test− | non malade) = d / (b + d).
• Interprétation : parmi les non malades, proportion correctement rassurée.
• Un test très spécifique donne peu de faux positifs.

Valeur prédictive positive (VPP)

• Définition : probabilité d’être malade si le test est positif.
• Formule : VPP = P(malade | test+) = a / (a + b).
• Interprétation : lorsque le test est positif, chance que ce soit un vrai malade.

Valeur prédictive négative (VPN)

• Définition : probabilité d’être non malade si le test est négatif.
• Formule : VPN = P(non malade | test−) = d / (c + d).
• Interprétation : lorsque le test est négatif, chance que ce soit un vrai non malade.

Taux d’erreurs

• Taux de faux positifs (TFP) : P(test+ | non malade) = b / (b + d) = 1 − Sp.
• Taux de faux négatifs (TFN) : P(test− | malade) = c / (a + c) = 1 − Se.

Prévalence et valeurs prédictives

Prévalence

• Prévalence dans l’échantillon : proportion de malades.
• Formule : Prévalence = (a + c) / N.
• Interprétation : probabilité a priori d’être malade avant de connaître le résultat du test.

Prévalence et Se/Sp

• La sensibilité et la spécificité sont définies conditionnellement à l’état de maladie.
• Elles dépendent du test, de sa qualité, de la population de validation, mais pas de la prévalence dans la population où on applique le test (si le test garde les mêmes performances).

Prévalence et valeurs prédictives

• Les valeurs prédictives sont conditionnées au résultat du test (test+ ou test−).
• Elles dépendant de Se, Sp et de la prévalence :
• Si la prévalence augmente : VPP augmente, VPN diminue (en général).
• Si la prévalence diminue : VPP diminue, VPN augmente (en général).

Idée clé : même test, même Se et Sp, mais VPP et VPN peuvent changer beaucoup selon la fréquence de la maladie dans la population étudiée.

Formules bayésiennes (facultatif mais utile)

On peut relier VPP/VPN à Se, Sp et prévalence par les formules de Bayes :

• Soit π = prévalence = P(malade).
• Alors P(non malade) = 1 − π.

Formules usuelles :

• VPP = [Se × π] / [Se × π + (1 − Sp) × (1 − π)].
• VPN = [Sp × (1 − π)] / [(1 − Se) × π + Sp × (1 − π)].

Ces formules montrent explicitement la dépendance des valeurs prédictives à la prévalence π.

Exemple chiffré corrigé (valeurs fictives)

On considère un test pour une maladie rare dans une population de 10 000 personnes.

Données (fictives) :

• Prévalence supposée : 1 % de malades dans la population.
• Sensibilité : 90 %.
• Spécificité : 95 %.

Étape 1 : nombre de malades et non malades

• Malades : 1 % de 10 000 = 0,01 × 10 000 = 100.
• Non malades : 10 000 − 100 = 9 900.

Étape 2 : appliquer Se et Sp

Parmi les 100 malades :

• Vrais positifs (a) = Se × malades = 0,90 × 100 = 90.
• Faux négatifs (c) = malades − a = 100 − 90 = 10.

Parmi les 9 900 non malades :

• Vrais négatifs (d) = Sp × non malades = 0,95 × 9 900 = 9 405.
• Faux positifs (b) = non malades − d = 9 900 − 9 405 = 495.

Étape 3 : compléter le tableau 2×2

• a = 90, b = 495, c = 10, d = 9 405, N = 10 000.

Étape 4 : calcul des valeurs prédictives

• VPP = a / (a + b) = 90 / (90 + 495) = 90 / 585 ≈ 0,154 (15,4 %).
• VPN = d / (c + d) = 9 405 / (10 + 9 405) = 9 405 / 9 415 ≈ 0,999 (99,9 %).

Interprétation :

• Malgré un test assez bon (Se 90 %, Sp 95 %), la maladie étant rare, la VPP est faible : parmi les positifs, seule une minorité est vraiment malade.
• En revanche, un test négatif est très rassurant (VPN très élevée).

Courbe ROC (Receiver Operating Characteristic)

Principe

Beaucoup de tests ne sont pas naturellement binaires, mais donnent une valeur continue (dosage, score, etc.).

• On choisit un seuil pour dire test positif/ négatif.
• À chaque seuil correspondent une sensibilité et un taux de faux positifs (1 − spécificité).

Construction de la courbe ROC

• Axe des abscisses : 1 − Sp = taux de faux positifs.
• Axe des ordonnées : Se = sensibilité.
• Chaque seuil fournit un point (1 − Sp, Se) ; on relie ces points pour tracer la courbe.

Interprétation

• Un test parfait : point en (0, 1) : Se = 1 (100 %), Sp = 1 (TFP = 0).
• Une diagonale de (0, 0) à (1, 1) correspond à un test aléatoire (sans pouvoir discriminant).
• Plus la courbe s’éloigne vers le coin supérieur gauche, meilleur est le test.

Aire sous la courbe (AUC)

• AUC (Area Under the Curve) : probabilité qu’un malade ait un résultat plus élevé qu’un non malade.
• Valeurs usuelles :
• 0,5 : aucun pouvoir discriminant (comme le hasard).
• Proche de 1 : très bon test.

Choix d’un seuil et compromis Se/Sp

• Un seuil plus bas : augmente la sensibilité, mais diminue la spécificité (plus de FP).
• Un seuil plus haut : augmente la spécificité, mais diminue la sensibilité (plus de FN).
• Le choix du seuil dépend du contexte clinique :
• Maladie grave, traitement peu toxique : privilégier la sensibilité pour ne pas rater de cas.
• Traitement lourd, grave conséquence d’un FP : privilégier la spécificité.

Pièges classiques à l’examen

• Confusion entre :
• Sensibilité (P(test+ | malade)) et VPP (P(malade | test+)).
• Spécificité (P(test− | non malade)) et VPN (P(non malade | test−)).
• Oublier le conditionnement dans la probabilité :
• Sensibilité/spécificité : conditionnement sur l’état de maladie.
• VPP/VPN : conditionnement sur le résultat du test.
• Mal replacer a, b, c, d dans le tableau 2×2 : bien se souvenir des lignes (malade/non malade) et colonnes (test+/test−).
• Penser que VPP/VPN sont invariantes avec la prévalence : c’est faux.
• Se tromper dans les compléments :
• Taux de faux négatifs = 1 − sensibilité.
• Taux de faux positifs = 1 − spécificité.

À retenir

• Le test diagnostique se résume d’abord par un tableau 2×2 (a, b, c, d) à bien maîtriser.
• Sensibilité et spécificité sont des propriétés intrinsèques du test : elles ne dépendent pas de la prévalence.
• VPP et VPN dépendent fortement de la prévalence : le même test n’a pas la même valeur dans des populations différentes.
• La courbe ROC permet de comparer des tests et de choisir un seuil en visualisant le compromis Se/Sp.
• Tout calcul commence par remplir soigneusement le tableau 2×2 avant d’appliquer les formules.